Het driedeurenprobleem en statistiek

door Mathijs Oosterhuis

Een klassieke statistische vraagstelling is die van het driedeurenprobleem veelvoorkomend in gameshows en raadsels. Over de geschiedenis en de eerste publicatie is veel te lezen op het web, maar in dit artikel wil ik dit Monty Hall Problem vooral gebruiken om kansberekening uit te leggen.

De situatie is als volgt: aan u als deelnemer aan een show worden drie deuren gepresenteerd. Achter één van deze deuren bevind zich een schitterende Ferrari en achter de overige twee deuren bevind zich een geit. Aan u de simpele vraag voor welke deur u kiest met daarachter uw bijbehorende prijs. De bijbehorende kansberekening is tot dusverre zeer simpel: de kans op een Ferrari, P(F), is 1/3 en de kans op een geit, P(G), is 2/3 (er bevinden zich immers achter 2 van de 3 deuren een geit).

Nu komt echter het interessante deel van het driedeurenprobleem aan bod. Nadat u uw keuze heeft gemaakt, opent de game host een van de ongeopende deuren met daarachter een geit. Vervolgens krijgt u de vraag of u wil veranderen qua gekozen deur. Veel mensen schatten in dat het zinloos is om te ruilen, aangezien er nog 1 geit en 1 auto in de race zijn en de kans dus 50% is dat een switch goed uitpakt en tevens 50% dat een switch slecht uitpakt. Niets is echter minder waar!

Wanneer je eerste keuze een geit is, dan zou je maar al te graag van deur willen ruilen, aangezien de geopende deur de andere geit laat zien en je dus altijd ruilt met de deur waar de auto achter moet staan. Wanneer je de Ferrari meteen hebt gekozen, wil je natuurlijk de prijs achter de gekozen deur houden. In de geschetste setting is dit echter de belangrijke informatie die mist. Wat we wel weten is dat er 1/3 kans is op het meteen kiezen van de auto, oftewel in 33% van de gevallen is switchen een foutieve keuze. In 67% van de gevallen wordt er echter geruild van een geit naar de Ferrari (van geit 1 naar de Ferrari of natuurlijk van geit 2).

De conclusie is hierdoor soms enigszins tegen mensen hun intuïtie in, maar in dit geval is switchen de enige statistisch juiste keuze! Van ruilen komt huilen is hier dus niet van toepassing.